miércoles, octubre 21, 2015

El enigma del cocodrilo y la cebra que volvió locos a los alumnos británicos

El enigma del cocodrilo y la cebra que volvió locos a los alumnos británicos


Otro problema matemático ha causado una gran controversia en las redes sociales. En este caso, los alumnos escoceses son los que ha tenido que enfrentarse a un enigma de difícil solución y que sólo los más aventajados han sido capaces de dar respuesta.

¿En qué consiste? En determinar el tiempo que tardará un cocodrilo en atacar a su presa (una cebra) si lo hace por tierra o si por el contrario lo hace nadando por el agua con la distancia más corta posible.

El enunciado es el siguiente: Un cocodrilo acecha a su presa, que está situada a 20 metros de distancia en la otra orilla del río. Los cocodrilos se desplazan a una velocidad diferente en tierra y en agua.

El tiempo que necesita el cocodrilo para llegar hasta su presa puede reducirse si nada 'x' metros corriente arriba hasta un punto 'P', situado en la otra orilla. El tiempo que tarda, 'T', se mide en décimas de segundo y está formado por la fórmula T (x) = 5 v36+x2+ 4 (20-x)".

- Calcula el tiempo que tardará el cocodrilo si no va por tierra.

- Calcula el tiempo que tardará el cocodrilo si nada la distancia más corta posible.

- Entre estos dos extremos, cuál es el valor de 'X' que minimiza el tiempo que tarda. Encuentra este valor para determinar cuál es el mínimo tiempo posible.

¿Serías capaz de resolverlo? Si te cuesta (como a la gran mayoría de los escoceses que se enfrentaron a Scottish Qualificationes Authority, una especie de prueba de acceso a la Universidad), el blog Calle Mayor ha decidido echarte una mano.

Hay que tener en cuenta que si minimizas el tiempo en el agua (vas por los catetos), recorres 20 metros a la máxima velocidad, pero también haces la máxima distancia posible.
Si lo haces todo por el agua, recorres la minima distancia, pero a menor velocidad.

Nos quedamos con que la parte izquierda de la fórmula tiene toda la pinta de ser el cálculo de la hipotenusa (velocidad en el agua), y la de la derecha la del desplazamiento por tierra.

Veremos que:

La distancia a tierra es entonces de 6m (36 = 6^2)

La velocidad del cocodrilo en agua es de 0,5 segundos por metro recorrido.

La velocidad del cocodrilo en tierra es de 0,4 segundos por metro recorrido.

La proporción entre la velocidad tierra/agua es de 0,4s/0,5s = 0,8s (tierra) /1s (agua).

Con esto tenemos un triángulo de tiempos en el que conocemos dos lados: la hipotenusa (1s) y el cateto que iría por tierra (0,8 s), y tendremos que calcular uno de los ángulos ángulos para conocer el otro lado.

En una circunferencia goniométrica, de radio 1, tendríamos que encontrar el ángulo que nos diera el coseno (la horizontal) con esta proporción de 0,8 del cateto que ya conocemos. En el agua esta es la mejor proporción comparada con la velocidad en tierra que podemos alcanzar, así que es la que buscamos.

Buscamos el arco cuyo coseno nos da esta proporción de 0,8 = 36,86º < Ese es el ángulo en el que nadará el cocodrilo con respecto a la paralela.

Bueno, pues el cocodrilo ya tendría el problema resuelto. Ese es el ángulo en el que tendría que nadar, pero como nos piden 'x', la tendremos que calcular.

En el triángulo rectángulo de distancias que buscamos, el cateto opuesto al ángulo que hemos elegido debe medir 6 metros según hemos visto arriba.

En nuestro triángulo de tiempos, ese lado mide 0,6 (Sen 36,86º = 0,6)

Como los triángulos son proporcionales, y nuestro cateto en el triángulo de distancias debe medir 6 metros, tenemos una relación de 0,6 a 6, de modo que en el triángulo de distancias los valores son 10 veces mayores.

El radio (longitud que se ha hecho nadando) será entonces 1 x 10 = 10 metros.

Y la distancia equivalente terrestre (el otro cateto) será la proporción que hemos calculado antes (0,8) multiplicada por este factor 10. ¿Cuál es el resultado de 'x'? 8 metros.¡Menuda dificultad! Tal es su complicación que se ha tenido que bajar la nota media de acceso un 34%. ¡Casi nada!

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